Точка вне плоскости параллелограмма удалена от каждой из его вершин на 10см и от каждой из его сторон на 8см. Найдите площадь параллелограмма и расстояние от данной точки до его плоскости.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данная точка вне плоскости параллелограмма обозначается как P.
Обозначим вершины параллелограмма как A, B, C, D, а стороны как AB, BC, CD и DA.

Рассмотрим треугольник распределения точки P от вершины А, обозначим его как P1. Так как P находится на расстоянии 10 см от вершины А, то треугольник P1 – прямоугольный. Обозначив точку, в которой перпендикуляр из P к плоскости параллелограмма пересекает плоскость параллелограмма как X, и применив теорему Пифагора, получим:
PX^2 + AX^2 = AP^2
PX^2 + 8^2 = 10^2
PX = √(100 - 64) = √36 = 6

Аналогичные рассуждения применимы к остальным треугольникам, получим PX = 6, PY = 6, PZ = 6. Теперь у нас есть точки X, Y и Z, образованные перпендикулярами от точки P к сторонам параллелограмма. Далее соединим точки X, Y и Z линиями с вершинами параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм разобьется на 4 треугольника: AXZ, PYZ, PYB и PBC.
Обратим внимание, что PYB и PBC – треугольники равнобедренные, т.к. высоты этих треугольников равны соответственно YP = XB = 6.
Далее, расположим треугольники в исходном положении и соединим вершины AB и CD прямыми линиями. Таким образом, получим прямоугольник со сторонами 16см и 12см, площадь которого равна 192 кв. см.

Из рассуждений выше следует, что PZ = 6, т.е. расстояние от точки P до плоскости параллелограмма равно 6см.