Окружность касается сторон АВ, ВС и CD параллелограмма ABCD. Касательная к окружности проходит через точку D и пересекает сторону АВ в точке Р. Известно, что длина радиуса окружности равна 4 см и площадь четырехугольника DРВС равна 40 см . Вычислите длину боковой стороны равнобедренной трапеции DРВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь четырехугольника DРВС можно разбить на два треугольника: DРВ и РВС.
Площадь треугольника DРВ вычислим по формуле s = 0.5 a h, где a - основание (ДР), h - высота из точки D на сторону AB.
Основание треугольника DРВ равно сумме радиуса и отрезка RD, а значит равно 4 + RD.
Также высота треугольника DРВ равна радиусу (4 см).
Получаем, что s(DРВ) = 0.5 (4 + RD) 4 = 2 * (4 + RD) = 8 + 2RD.

Площадь треугольника РВС также вычислим по формуле s = 0.5 a h, где a - основание (ВС), h - высота из точки D на сторону BC.
Так как РВ = 2DР (так как Окружность касается стороны ВС, то PR и РV - радиусы окружности и равны, а значит треугольник РВС равнобедренный и РВ = 2DР), то получаем, что BC = 2 DР.
Основание треугольника РВС равно 2 DР (то есть 2 основание DРВ).
Также высота треугольника РВС равна радиусу (4 см).
Получаем, что s(РВС) = 0.5 2 DР 4 = 4 * DР.

Так как площадь четырехугольника DРВС равна сумме площадей треугольников DРВ и РВС, мы можем записать уравнение:
8 + 2RD + 4 * DР = 40.

Также зная, что DР = BC/2, можем записать уравнение:
8 + 2RD + 4 * (BC/2) = 40,
8 + 2RD + 2BC = 40,
2RD + 2BC = 32,
RD + BC = 16.

Из геометрии мы знаем, что RD + DР = DR, а также RD + BC = RC (параллельные прямые).
Отсюда получаем, что DR = RC = 16.

Так как DR = RC = 16, а также радиус окружности (который равен DR) равен 4, получаем, что сторона DС равна 16 - 4 = 12 см.

Итак, длина боковой стороны равнобедренной трапеции DРВС равна 12 см.