1°. Найдите скалярное произведение двух векторов длины 2, угол между которыми равен 45°. 2°. Дан единичный квадрат ABCD. O – точка пересечения его диагоналей. Найдите: а); б); в). 3. Определите вид треугольника MNK, если M(-10, -5), N(-5, 5), K(6, 7). 4. Даны векторы (2, 0) и (-3, 5). При каком значении y векторы 2и y- 4перпендикулярны. 5*. Вычислите работу, которую производит сила (3, -9), когда точка ее приложения перемещается, двигаясь прямолинейно, из положения A(5, -8) в положение B(15, -12). 6*. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
1°. Пусть векторы a и b имеют координаты (a1, a2) и (b1, b2) соответственно. Тогда скалярное произведение a и b вычисляется по формуле a1b1 + a2b2. Учитывая, что угол между двумя векторами равен 45°, можем воспользоваться формулой скалярного произведения: ab = |a||b|cos(45°) = sqrt(a1^2 + a2^2) sqrt(b1^2 + b2^2) cos(45°). 2°. а) Расстояние от точки O до стороны AD квадрата равно sqrt(2) / 2. б) Площадь треугольника AOD равна 1/2 1 * 1/2 = 1/4. в) Площадь треугольника ACB равна 1 - 1/4 - 1/4 = 1/2.
Треугольник MNK является остроугольным, так как квадрат суммы длин его сторон между любыми двумя вершинами больше, чем квадрат третьей стороны.Для того, чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0. Из этого следует уравнение: 2y + 5(-4) = 0. Решая это уравнение, получаем y = 10/2 = 5. 5. Работа, произведенная силой при перемещении точки от А до В, равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Таким образом, работа равна (3, -9) (15-5, -12-(-8)) = (3, -9) (10, -4) = 310 + (-9)(-4) = 30 + 36 = 66. 6. Для доказательства того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, можно воспользоваться теоремой о центре тяжести. Сумма векторов высот, проведенных из вершин треугольника к серединам противоположных сторон, равна нулю. Таким образом, можно утверждать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести треугольника.
1°. Пусть векторы a и b имеют координаты (a1, a2) и (b1, b2) соответственно. Тогда скалярное произведение a и b вычисляется по формуле a1b1 + a2b2. Учитывая, что угол между двумя векторами равен 45°, можем воспользоваться формулой скалярного произведения: ab = |a||b|cos(45°) = sqrt(a1^2 + a2^2) sqrt(b1^2 + b2^2) cos(45°).
Треугольник MNK является остроугольным, так как квадрат суммы длин его сторон между любыми двумя вершинами больше, чем квадрат третьей стороны.Для того, чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0. Из этого следует уравнение: 2y + 5(-4) = 0. Решая это уравнение, получаем y = 10/2 = 5.2°.
а) Расстояние от точки O до стороны AD квадрата равно sqrt(2) / 2.
б) Площадь треугольника AOD равна 1/2 1 * 1/2 = 1/4.
в) Площадь треугольника ACB равна 1 - 1/4 - 1/4 = 1/2.
5. Работа, произведенная силой при перемещении точки от А до В, равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Таким образом, работа равна (3, -9) (15-5, -12-(-8)) = (3, -9) (10, -4) = 310 + (-9)(-4) = 30 + 36 = 66.
6. Для доказательства того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, можно воспользоваться теоремой о центре тяжести. Сумма векторов высот, проведенных из вершин треугольника к серединам противоположных сторон, равна нулю. Таким образом, можно утверждать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести треугольника.