Диагональ равнобедренной трапеции равна 2√7 и образует с основанием угол в 75° Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а боковая сторона равна c. Тогда высота трапеции равна h = csin(75°) = c√3/2.

Так как трапеция равнобедренная, то a = b. Поэтому разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза равна a, а катеты равны b и h/2. Тогда:
b^2 + (h/2)^2 = a^2,
b^2 + (c*√3/4)^2 = a^2,
b^2 + 3c^2/4 = a^2.

Также из условия задачи известно, что диагональ трапеции равна 2√7, поэтому:
a^2 = b^2 + c^2,
(2√7)^2 = b^2 + c^2,
4*7 = b^2 + c^2,
28 = b^2 + c^2.

Подставим значение b^2 + 3c^2/4 из первого уравнения во второе:
28 = b^2 + 3c^2/4 + c^2,
28 = 4b^2/4 + 3c^2/4 + c^2,
28 = b^2 + 3c^2/4 + c^2,
28 = 28 + 3c^2/4 + c^2,
28 = 28 + 4c^2/4.

Таким образом, получаем:
3c^2/4 + c^2 = 0,
c^2(3/4 + 1) = 0,
c^2 = 0.

Это противоречие говорит нам о том, что такая трапеция с данными данными не существует.