В равнобедренном треугольнике АВС точки DE взяты на основании АС так, что АD =СЕ. Из точек DЕ к основаниюпроведены перпендикуляры до пересечения с боковыми сторонами треугольника соответственно в точках МN. Докажите, что DM=EN

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия равнобедренности треугольника ABC имеем AB = AC, следовательно, углы ABC и ACB равны. Также, углы BAD и CAD равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника
Так как углы ABC и ACB равны, то треугольник ABC равнобедренный
Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них равны углы BAD и CAD, и у них равны стороны AB и AC. Следовательно, они подобны и AD/CD = BD/DC или AD/BD = CD/DC.

Рассмотрим треугольники ADE и CDE. У них равны углы EAD и ECD (они равны как вертикальные углы), и у них равны стороны AD и CE (по условию). Так как мы только что доказали, что AD/BD = CD/DC, то эти треугольники также подобны и AD/DC = DE/DC или AD/DE = DC/DC = 1, значит AD = DE.

Теперь рассмотрим треугольники ADM и ENC. У них равны углы AMD и ENC, так как это углы прямые, и у них равны углы MAD и NEC, так как это углы при основании равнобедренного треугольника. Также, у них равны стороны AD и DE (которые равны, как мы только что доказали), и они общие. Следовательно, эти треугольники равны, что и означает, что DM = EN.