На сторонах треугольника ADH взяты точки L и O так, что AL=2, LD=3, AC=3, CH=1, найдите отношение площадей Salc: Sdha

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площади треугольников Salc и Sdha.

Площадь треугольника Salc можно найти, используя формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

Salc = 0.5 AC CH * sin(alpha)

где alpha - угол между сторонами AC и CH.

Чтобы найти α, воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ACH:

cos(alpha) = (AC^2 + CH^2 - AH^2) / (2 AC CH)

Подставляем известные значения:

cos(alpha) = (3^2 + 1^2 - AH^2) / (2 3 1) = (9 + 1 - AH^2) / 6

cos(alpha) = (10 - AH^2) / 6

AH = √[(10 - 6cos(alpha))]

Площадь треугольника Salc:

Salc = 0.5 3 1 * sin(alpha)

Salc = 1.5 * sin(alpha)

Теперь найдем площадь треугольника DHA, зная, что L - середина стороны AD:

AL = 2, LD = 3 => AD = 2 + 3 = 5

L - середина AD => AL = LD

Теперь можем найти площадь треугольника DHA, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Sdha = 0.5 DH AD * sin(beta)

где beta - угол между сторонами DH и AD.

Так как DL = AL = 2 и SO = CH = 1, то LO = 2 соответственно AO = AC = 3.

Также, из соотношений на прямых углах, AO = DH и AH = DO.

Площадь DHA и SDO равна, т.е. Sdha = Sdo

Точки ADO и ALO являются коллинеарными и треугольник ADL является прямоугольным, и соответственно ДЛ — высотой.

AD^2 = LD^2 + HL^2
25 = 9 + HL^2 => HL^2 = 16 => HL = DO = AH = 4

Произведем следующие действия:
1) Найдем площадь DHO
2) Подсчитаем общую площадь Salo
3) Найдем отношение заданных площадей

Переходим к площади DHO
Sdho = 0.5 DO HO = HO AO = HO 3

Аналогичным образом для площади ALO:
Salo = 0.5 LH LO = 2 * 2 = 4

Cуммарная площадь Salo равна = 4

Следовательно, отношение Salo : Sdha = 4 : 1