Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны а и b, а высота h. Тогда средняя линия трапеции равна (a + b)/2.

Площадь трапеции равна (a + b)*h/2.

Исходя из условия задачи, у нас имеем следующую систему уравнений:

Так как отношение площадей двух частей трапеции равно 5/11, то площадь одной части равна (5/16)S, а другой – (11/16)S.

Площадь одной части равна (a/2)h, а второй (b/2)h.

Построим следующую систему уравнений:

Из уравнений 1 и 2 найдем значения h:

Из этих уравнений получаем:

(5/16)S2/a = (11/16)S2/b
5/a = 11/b
5b = 11a
b = 11/5*a

Подставим это значение в уравнение средней линии трапеции:

(a + 11a/5)/2 = 4
5a + 11a = 40
16a = 40
a = 40 / 16
a = 2.5

Таким образом, длина первого основания равна 2.5, а длина второго основания равна 11/5*2.5 = 5.5.