Стороны АВ, Ас, ВС треугольника АВС соответственно равны 13, 12 и 5, а отрезок ВD перпендикулярен плоскости этого треугольника. Докажите, что прямые СD и АС перпендикулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим угол ACB через α.

Так как стороны треугольника АВС были заданы, то можем найти угол ВAC и угол BCA, используя косинусы:

cos(∠BAC) = (12^2 + 13^2 - 5^2) / (2 12 13) = 20/26 = 10/1
cos(∠BCA) = (5^2 + 13^2 - 12^2) / (2 5 13) = 85 / 65 = 4/5

Так как прямая CD перпендикулярна плоскости треугольника АВС, то угол между прямой CD и плоскостью этого треугольника равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Из косинусов, которые мы нашли ранее, можем найти угол DBC и угол BCD:

cos(∠BDC) = (BD^2 + BC^2 - CD^2) / (2 BD BC) = (13^2 + 5^2 - 12^2) / (2 13 5) =
cos(∠BCD) = (BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2 BC CD) = (5^2 + 12^2 - 13^2) / (2 5 12) = 0

Теперь заметим, что угол DBC равен углу BAC (так как они дополняют друг друга до 180 градусов) и угол BCD равен углу BCA (так как они также дополняют друг друга до 180 градусов).

Таким образом, угол ACB равен градусам и 90, что означает, что прямые СD и АС перпендикулярны.