В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 5, катет BC равен 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти радиус окружности, нужно воспользоваться теоремой о трех касательных.

Обозначим радиус окружности как r.

Так как окружность касается прямой BC, то точка касания лежит на продолжении отрезка BC за точку С. Обозначим точку касания как D.

Также известно, что AD и CD являются касательными к окружности, проходящей через концы гипотенузы AC и имеющей радиус r.

Из теоремы о трех касательных мы знаем, что отрезки AD и CD равны. Поэтому AD = CD.

Теперь обратимся к треугольнику ACD. Мы можем записать уравнение для радиуса r:

r = (AD + CD)/2 = AD = CD.

Теперь найдем AD. В треугольнике ABC по теореме Пифагора:

AC^2 + BC^2 = AB^2;

5^2 + 12^2 = AB^2;

25 + 144 = AB^2;

169 = AB^2;

AB = 13.

Таким образом, AD = CD = AB = 13.

Итак, радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC, равен 13.