Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 54, а его пе­ри­метр 36. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a, b, c - стороны треугольника, a = 2RsinA, где A - угол между сторонами b и c.
Также площадь треугольника равна 1/2ab*sinC, где C - угол между сторонами a и b.
Так как площадь треугольника равна 54, а периметр 36, то полупериметр равен 18.

Из уравнения площади треугольника:
54 = 1/2 a b sinC
54 = R (a + b + c)
54 = R * (2RsinA + b + c)

Из уравнения периметра:
36 = a + b + c
36 = 2RsinA + b + c
18 = RsinA + b + c

Подставляем полученные уравнения в уравнение площади треугольника:
54 = R * (18 + RsinA)

Решая это уравнение, находим, что R = 3.

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника равен 3.