На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC взята точка Е . Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам AB и ВС и пересекающие основание АС в точках Н и К. Докажите, что АН=КС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по условию треугольник ABC равносторонний, так как BD - биссектриса, а значит, AD=DC=AB=BC. Также BD является высотой треугольника, а значит, AD=CD.
Поскольку треугольник ADK подобен треугольнику ABE (по двум равным углам и общему углу), то AK/AB=DK/AE и AK/AD=DK/AE, то есть AK/AD=DK/AE. Аналогично, треугольник BEH подобен треугольнику CBE, поэтому BH/BC=EH/BF и BH/BC=EH/BC.
Так как AB=BC, то AK/AD=DK/AE и BH/BC=EH/BC. По теореме Талеса в треугольниках ABD и BDС, VK/KC= AD/DC, а так как AD=DC=AB=BC, то KC=AK, AN=KC, что и требовалось доказать.