В треугольнике ABC AB=15. на BC взята точка D так, что длина BD - 4 см и составляет 4/9 длины BC. AD - 13 см. найти площадь ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Заметим, что треугольник ABD является прямоугольным, так как AD перпендикулярна BD. Поэтому можем найти длину BC следующим образом:

BD/BC = 4/9
BD = 4
BC = 9*4/4 = 9

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(∠ABC)
AC^2 = 15^2 + 9^2 - 2159cos(∠ABC)
AC^2 = 225 + 81 - 270*cos(∠ABC)

Так как треугольник ABD прямоугольный, то cos(∠ABC) = BD/AB = 4/15
Подставим это значение:
AC^2 = 225 + 81 - 270*4/15
AC^2 = 225 + 81 - 72
AC^2 = 234
AC = √234 = 3√26

Теперь для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой Герона:
S = √p(p - AB)(p - AC)*(p - BC), где p - полупериметр.

p = (AB + BC + AC)/2 = (15 + 9 + 3√26)/2 = (24 + 3√26)/2 = 12 + 3√26

S = √(12 + 3√26)(12 - 3√26)(12 - 15)(12 - 9) = √(12 + 3√26)(-3√26)(3)(-3) = √[(36 - 234)9]
S = √[(-198)9] = √1782 = 9√22

Ответ: площадь треугольника ABC равна 9√22 квадратных см.