В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и ВД, пересекающиеся в точке О, АС = 18 см. Найдите ОД.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как треугольник АВС равнобедренный, то медианы ВД и АЕ являются высотами этого треугольника. Поскольку высоты равнобедренного треугольника пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:1, верхняя часть медианы ВО равна 2/3 медианы ЕО.

По теореме Пифагора найдем длину медианы АЕ:
AE = √(AB^2 - (1/2*AC)^2) = √(18^2 - 9^2) = √(324 - 81) = √243
AE = 3√27 = 9√3

Следовательно, EO = (2/3) * 9√3 = 6√3

Теперь найдем медиану ВД:
VD = √(AB^2 - (1/2*AC)^2) = √(18^2 - 9^2) = √(324 - 81) = √243
VD = 3√27 = 9√3

Так как медианы ВД и АЕ пересекаются в точке О, то треугольник AEO является прямоугольным. Следовательно, по теореме Пифагора:
OD = √(OE^2 - DE^2) = √((9√3)^2 - (6√3)^2) = √(243 - 108) = √135 = 3√15

Итак, ОD = 3√15.