Точки A и B лежат по одну сторону от прямой CD. AC перпендикулярно СD, BD перпендикулярно CD, AB=1. Точка M выбрана на прямой таким образом, что сумма длин отрезков y=AM+MB минимальна, угол AMB равен 90°, DM/CM=2. Найти y.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения CD и AM как E, а точку пересечения CD и BM как F. Поскольку угол AMB равен 90°, то треугольник AMB - прямоугольный. Также, по условию, DM/CM=2.

Обозначим длину отрезка AM как x, тогда длина отрезка BM равна 1-x (так как AB=1). Поскольку DM/CM=2, то мы можем представить DM как 2y и CM как y.

Теперь можем выразить AE и ME через x и y:

AE = y
ME = x - y

Тогда можем выразить длину отрезка AM через x и y:

AM = √(AE^2 + ME^2) = √(y^2 + (x - y)^2) = √(2y^2 - 2xy + x^2)

Аналогично, можем выразить длину отрезка BM через x и y:

BM = √(BF^2 + MF^2) = √((1-x)^2 + (x-y)^2) = √(1 - 2x + x^2 + x^2 - 2xy + y^2) = √(2x^2 - 2xy + y^2)

Таким образом, сумма длин отрезков AM и BM:

y = AM + BM = √(2y^2 - 2xy + x^2) + √(2x^2 - 2xy + y^2)

Теперь найдем точку M, при которой сумма y будет минимальной. Для этого продифференцируем y по x и выставим производную равной нулю:

dy/dx = (-y + x) / √(2y^2 - 2xy + x^2) + (2x - y) / √(2x^2 - 2xy + y^2) = 0

Путем преобразований это уравнение можно сократить до выражения: y^2 = 2x^2

Таким образом, при условии, что y^2 = 2x^2, мы можем найти y:

y = √2 * x

Таким образом, искомая длина отрезка y будет равна √2.