На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку угол СВА = 15 градусов, а угол САВ = 45 градусов, то угол ВАС = 120 градусов (180 градусов - 45 градусов - 15 градусов).

Также, угол СМА = угол САВ = 45 градусов (по свойству равенства углов, образованных касательной и хордой).

Рассмотрим треугольник СМА. Из условия известно, что СМ = 2АС. Пусть АС = х. Тогда СМ = 2х. По теореме косинусов:

cos(45 градусов) = (2x)^2 + x^2 - AM^2 / (2 2x x)
√2 / 2 = 5x^2 - AM^2 / 4x
√2 = 20x - AM^2 / 4
4√2 = 20x - AM^2
AM^2 = 20x - 4√2

Также, заметим, что угол МАВ = 90 градусов (так как это угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания).

Теперь рассмотрим треугольник АМВ. Из прямоугольности угла МАВ, угла АМВ и найденного квадратичного уравнения для АМ можем получить угол АМВ, зная, что катеты теперь равны x и 4√2:

tan(AMV) = √2 / x
tan(AMV) = √2 / √20x - 4√2
tan(AMV) = 1 / √20 - 4
tan(AMV) = 1 / √16
tan(AMV) = 1 / 4 => AMV = atan(1/4)

Таким образом, угол АМВ равен арктангенсу (1/4), что примерно равно 14,04 градусов.