В прямоугольном треугольнике АВС (угол С =90 градусов) биссектрисы СD и АЕ пересекаются в точке О.Угол АОС=105 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим треугольник ACD. Так как угол C равен 90 градусов, то угол ADC = (180-90)/2 = 45 градусов. Аналогично, угол DCA = 45 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник AOE. У него угол AOE = 180 - угол AOC = 180 - 105 = 75 градусов. Так как AE - биссектриса угла A, то угол OAE = 45 градусов (угол AOE делится пополам).

Из угольников ACD и AOE видим, что углы DCA и OAE равны 45 градусов. Таким образом, треугольники ACD и AOE подобны (оба имеют углы 45 и 90 градусов).

Из этого следует, что соответственные стороны этих треугольников пропорциональны. Так как AC/AD = AO/AE, то AC/AO = AD/AE.

Теперь вспоминаем, что угол AOC = 105 градусов и угол ACB = 90 градусов. Отсюда следует, что угол ОCB = 105 - 90 = 15 градусов.

Теперь посмотрим на треугольники OBC и ABC. У них углы OCB и ACB соответственно равны 15 и 90 градусов, а угол BCO = 180 - 90 - 15 = 75 градусов.
Из этого следует, что углы OCB и ABC равны, а значит, треугольники OCB и ABC подобны.

Из подобия треугольников OCB и ABC получаем, что OC/CB = AO/AC. Так как CB = AC/2 (так как это сторона на биссектрисе), то OC = AO/2.

Таким образом, мы доказали, что OC равно половине отрезка AO.