Через вершину конуса проведена плоскость под углом альфа к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом бетта. Определить площадь полной поверхности, если расстояние от центра основания до сечения равна d

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть R - радиус основания конуса, h - высота конуса, l - длина хорды на основании.

Из геометрии конуса получаем, что угол между образующей конуса и плоскостью, проходящей через вершину конуса и перпендикулярной основанию, равен β.

Так как хорда видна из центра основания под углом β, то хорда l является диаметром основания конуса. Следовательно, l = 2R.

Плоскость, проходящая через вершину конуса и образующая с основанием угол альфа, пересекает основание по диаметру. Таким образом, находим, что угол между образующей конуса и этой плоскостью равен (90° - α).

Теперь по теореме косинусов находим радиус окружности, образованной сечением плоскости через основание конуса:

R^2 = (l/2)^2 + d^2 - 2(l/2)d*cos(90° - α)

R^2 = d^2 + (l/2)^2 - ld*cos(α)

R^2 = d^2 + R^2 - lR*cos(α)

lR*cos(α) = d^2

R = d^2 / lcos(α)

Теперь находим площадь полной поверхности конуса:

S = πR^2 + πRl = π(d^2 / lcos(α))^2 + π(d^2/lcos(α))*l

S = πd^4 / l^2cos^2(α) + πd^2 / cos(α)

S = πd^2 / cos(α) (d^2 / l + l)

S = πd^2 / cos(α) (d^2/l + 2R)

Итак, мы нашли формулу для площади полной поверхности конуса в зависимости от данных параметров.