На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ=ВК. Отрезки АК и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что: 1) треугольник АОС-равнобедренный; 2) прямая ВО- серединный перпендикуляр отрезка АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Поскольку треугольник АВС – равнобедренный, то АВ = ВС и ∠АВС = ∠ВСА.
Так как ВМ = ВК и ∠ВМК = ∠ВКМ, то треугольники ВМК и ВКМ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, ∠МВК = ∠КВМ = ∠ВМК.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то ∠АВС = ∠ВСА и АВ = ВС, следовательно, треугольники АВМ и СВК равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, ∠МАВ = ∠КСВ = ∠ВКМ.
Так как углы ∠МВК и ∠МАВ равны, то мы имеем: ∠МВК = ∠МАО. Так как углы ∠КМВ и ∠ВМК равны, то мы имеем: ∠КМВ = ∠КСО.
Теперь, ∠МАО = ∠МВК = ∠КМВ = ∠КСО, что означает, что треугольники АОМ и ОСК равны по углам и сторонам, поэтому ОА = ОС, и угол AOC равен ∠AME + ∠CSK (по сумме углов равнобедренного треугольника), что означает, что треугольник АОС тоже равнобедренный.

2) Теперь, поскольку АОС – равнобедренный треугольник, то МV = VK.
Так как АМ = MS и ∠ОМА = ∠ОКВ = 90 градусов, то по теореме об угле между касательной и радиусом ∠ОМВ = ∠ОВК = 90 градусов, поэтому ВО – серединный перпендикуляр АС.