В параллелограмме угол между диагоналями в 3 раза больше угла между меньшей диагональю и большей стороной. Высота параллелограмма равна половине меньшей диагонали. Найдите угол между диагоналями.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол между диагоналями как x. Тогда угол между меньшей диагональю и большей стороной равен x/3.

Также из условия известно, что высота параллелограмма равна половине меньшей диагонали. Пусть меньшая диагональ равна d. Тогда высота h = d/2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются половина меньшей диагонали (т.е. h), половина большей диагонали и медиана.

Из этого треугольника мы можем найти синус угла x/3:

sin(x/3) = h / (0.5 бОльшая диагональ) = d / (2 бОльшая диагональ)
d = 2h, так как высота равна половине меньшей диагонали.
sin(x/3) = 2h / (2 * бОльшая диагональ)
sin(x/3) = h / бОльшая диагональ

Так как sin(x/3) = h / большая диагональ, то sin(x/3) = sin(90 - x)
Отсюда 90 - x = x/3

Решим это уравнение:
90 = 4x/3
x = 90 * 3 / 4 = 67.5

Таким образом, угол между диагоналями в параллелограмме равен 67.5 градусов.