В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, высота равна диагоналям основания.Точка F лежит на ребре SC, причем SF/FC =1/4 .Найти квадрат ctg угла между прямой BF и плоскостью ACF.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку высота равна диагоналям основания, то SAB и SCD - равнобедренные треугольники.

Пусть H - середина базы ABCD, тогда SH - высота пирамиды, а SH = HB = HC = HD.
Так как AB = BC и CD = AD, то треугольник ABC равносторонний, и BH = AB/2 = BC/2 = HC/2 = HD/2, поэтому треугольник BHC равнобедренный.

Из свойств равнобедренного треугольника получаем, что угол BHC равен 120 градусам.
Поэтому угол ABC равен 60 градусам.

Пусть угол между прямой BF и плоскостью ACF равен x.
Тогда, так как угол ABC равен 60 градусам, угол DCF равен 60 градусам.
Так как треугольник BHC равнобедренный, то угол HBC равен 30 градусам.

Теперь находим ctg(x):
ctg(x) = cos(x)/sin(x) = (AB BC)/(BF FC) = (AB BC)/(BF 4BF) = AB/4BF = (AB/AB)/(4SF) = 1/4SF = 1/SF = 1/(2SH) = 1/(2HB) = 1/(2DΗ) = 1/(2 √3 SD) = 1/(2 √3 SC sin(30)) = 1/(2 √3 SC 0.5) = 1/(√3 SC).
Ответ: ctg(x) = 1/(√3 SC).