В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, высота равна диагоналям основания.Точка F лежит на ребре SC, причем SF/FC =1/4 .Найти квадрат ctg угла между прямой BF и плоскостью ACF.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку высота равна диагоналям основания, то SAB и SCD - равнобедренные треугольники.

Пусть H - середина базы ABCD, тогда SH - высота пирамиды, а SH = HB = HC = HD
Так как AB = BC и CD = AD, то треугольник ABC равносторонний, и BH = AB/2 = BC/2 = HC/2 = HD/2, поэтому треугольник BHC равнобедренный.

Из свойств равнобедренного треугольника получаем, что угол BHC равен 120 градусам
Поэтому угол ABC равен 60 градусам.

Пусть угол между прямой BF и плоскостью ACF равен x
Тогда, так как угол ABC равен 60 градусам, угол DCF равен 60 градусам
Так как треугольник BHC равнобедренный, то угол HBC равен 30 градусам.

Теперь находим ctg(x)
ctg(x) = cos(x)/sin(x) = (AB BC)/(BF FC) = (AB BC)/(BF 4BF) = AB/4BF = (AB/AB)/(4SF) = 1/4SF = 1/SF = 1/(2SH) = 1/(2HB) = 1/(2DΗ) = 1/(2 √3 SD) = 1/(2 √3 SC sin(30)) = 1/(2 √3 SC 0.5) = 1/(√3 SC)
Ответ: ctg(x) = 1/(√3 SC).