Боковое ребро наклонного параллелепипеда равно 8 см сечение параллелепипеда перпендикулярное к боковому ребру является ромбом с тупым углом в 120 градусов, меньшая диагональ которого равна боковому ребру.Найдите объем параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина бокового ребра параллелепипеда равна а, тогда боковая грань параллелепипеда будет равна 8 см х а.

По условию задачи, сечение параллелепипеда перпендикулярное к боковому ребру является ромбом, у которого тупой угол равен 120 градусов и меньшая диагональ равна а.

В ромбе у тупого угла через рассматриваемую точку проходит вертикаль, поэтому можно провести высоту h, которая будет равна половине большей диагонали ромба. Из свойств ромба, большая диагональ кратна 4м угла 120 градусов, значит большая диагональ равна 2а.

Зная большую и меньшую диагонали ромба, находим площадь ромба S = (2а * а) / 2 = а^2.

Зная высоту h ромба, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, сторона которого является боковым ребром параллелепипеда со стороной а, а гипотенуза - большей диагональю ромба, то есть 2а. Тогда a^2 = 2а^2 - h^2, h = sqrt(3)a.

Тогда площадь сечения параллелепипеда равна 6а^2.

Теперь находим объем параллелепипеда - это произведение площади основания на высоту: V = 6а^2 * а = 6а^3.

Выразим a через ромб: a = d / sqrt(2), где d - диагональ ромба.

Так как меньшая диагональ равна большей, то d = 2а.

Тогда a = 2а / sqrt(2), a = а * sqrt(2) / 2.

Подставим это выражение в формулу объема параллелепипеда: V = 6 (а sqrt(2) / 2)^3 = 6 (2а^3 / 2 sqrt(2))^2 = 6 (8 а^3 / 8) = а^3.

Ответ: объем параллелепипеда равен а^3.