Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данная медиана равна a, тогда медиана, проведенная к основанию, равна 2a/3, так как она делится в отношении 25:7. Также заметим, что высота треугольника, проведенная из вершины до основания, равна расстоянию от центра окружности, описанной вокруг треугольника, до основания треугольника.

Построим высоту h, поделим основание треугольника на две равные части и соединим середины получившихся отрезков с вершинами треугольника. Таким образом, мы разобьем треугольник на два равных равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников.

Пусть радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r. Тогда высота h равно R, а медиана a равна 2R. По теореме Пифагора в равнобедренном треугольнике:

a^2 = r^2 + (a/2)^2
(2R)^2 = r^2 + R^2
4R^2 = r^2 + R^2
3R^2 = r^2

Теперь рассмотрим больший равнобедренный треугольник. Так как его боковая сторона равна 40 см, а его медиана a равна 2R, то применяя теорему Пифагора, получаем:

(40/2)^2 = (2R)^2 - r^2
20^2 = 4R^2 - r^2
400 = 4R^2 - 3R^2
R^2 = 400
R = 20 см

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 20 см.