В правильной треугольной пирамиде со стороной основания 12 и боковым ребром 10 через середину бокового ребра проведено сечение плоскостью, перпендикулярной этому ребру. найдите периметр полученного сечения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Пользуясь теоремой Пифагора, получаем:
$$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64.$$
Отсюда $h = 8$.

Теперь находим высоту треугольной призмы, образованной сечением. Требуется найти катет прямоугольного треугольника, образованного $h$ и половиной основания призмы:
$$h' = \sqrt{8^2 + (12/2)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.$$

Теперь находим периметр сечения:
$$P = 2a + 2b + c,$$
где $a$ и $b$ - стороны сечения, а $c$ - гипотенуза.

Из подобия треугольников:
$$\frac{a}{6} = \frac{b}{10} = \frac{c}{12},$$
получаем $a = \frac{6}{10}c$ и $b = \frac{10}{12}c = \frac{5}{6}c$.

Таким образом, $P = 2 \cdot \frac{6}{10}c + 2 \cdot \frac{5}{6}c + c = \frac{12}{10}c + \frac{10}{6}c + c = c \left( \frac{12}{10} + \frac{10}{6} + 1 \right) = c \cdot \frac{36 + 50 + 30}{30} = c \cdot \frac{116}{30} = \frac{58}{15}c.$

Используя найденные ранее значения, получаем:
$$P = \frac{58}{15} \cdot 12 = \frac{696}{15} = 46 \text{ (единиц длины)}.$$