Основание прямого параллелепипеда - ромб, со стороной а, угол между плоскостями двух смежных боковых граней равен ФИ, Большая диагональ параллелепипеда образует с основанием угол БЭТА. Найти объем параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковые грани параллелепипеда как ABCD и A'B'C'D', где ABCD и A'B'C'D' - ромбы, AB = a, диагональ BD = AC = l.

Из условия задачи угол между плоскостями двух смежных боковых граней (BAC и A'B'C') равен ФИ, значит угол между диагоналями ромбов АВСD и A'B'C'D' равен ФИ. Таким образом, треугольники ABD и A'B'D' подобны, так как у них соответственные углы ФИ равны (ФИ = ФИ).

Из подобия треугольников получаем выражение:

AD / A'D' = BD / B'D' = AB / A'B' = a / p, где p - сторона параллелепипеда относительно диагонали.

Так как угол между диагональю и стороной равен БЭТА, то в треугольнике ABD по теореме косинусов имеем:

cos(BETA) = AD / l

Отсюда получаем:

AD = l * cos(BETA)

Подставляем значение AD в выражение для AD / A'D' = a / p, получаем:

l * cos(BETA) / A'D' = a / p

Отсюда находим значение A'D':

A'D' = p l cos(BETA) / a

Теперь можем найти объем параллелепипеда:

V = a A'D' A'D' = a p^2 l cos(BETA)^2 / a^2 = p^2 l * cos(BETA)^2

Ответ: V = p^2 l cos(BETA)^2.