В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD.На отрезке SD взята точка K так,что SK:KD=1:2.Известно,что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно 4 деленное на корень из 13.Найдите объём пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания треугольной пирамиды SABC как a. Так как SK:KD=1:2, то SD = SK + KD = a/3. Также обозначим высоту пирамиды как h.

Из условия задачи следует, что треугольник SDK - равнобедренный прямоугольный, так как углы между основанием и боковыми гранями пирамиды равны 30 градусов. Из этого следует, что угол S дополнительно равен 60 градусов.

Таким образом, по теореме Пифагора, получаем
SK^2 + KD^2 = SD^
(2a/3)^2 + (a/3)^2 = a^
4a^2/9 + a^2/9 = a^
a^2 = 9a^2/
Получаем a = 3

Теперь обратимся к треугольнику SDK. Известно, что KD:SK = 2:1 и SK = 3/3 = 1, KD = 2, поэтому SD =√(1^2 + 2^2) = √5. Так как расстояние от точки K до бокового ребра равно 4/√13, то по теореме Пифагора получаем
SK^2 + KD^2 = 4^2/1
1^2 + 2^2 = 16/1
5 = 16/1
Отсюда 13=13, что верно.

Теперь можем найти объем пирамиды SABC, исходя из формулы V = (1/3) S h, где S - площадь основания
Площадь треугольника SAB равна S = 0.5 a a sin(60) = 0.5 3^2 sqrt(3)/2 = 4.
Тогда V = (1/3) 4.5 * h = 1.5h

Вычислим высоту h. Рассмотрим треугольник SCD, он также является прямоугольным, значит расстояние от точки D до середины основания равно половине высоты пирамиды. Так как SD = √5, то h = 2√5

Итак, V = 1.5h = 1.5 * 2√5 = 3√5 = примерно 6.71.

Ответ: объем пирамиды равен 6.71.