Радиус круга равен 4 см. в нем проведена хорда, длина которой равна стороне вписанного квадрата. Найдите площадь меньшего из сегментов, определяемого этой хордой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам понадобится формула площади сегмента круга
S = (r^2/2)(α - sin(α))
где r - радиус круга, α - центральный угол, соответствующий сегменту.

Поскольку длина хорды равна стороне вписанного квадрата, то с помощью теоремы Пифагора мы можем найти длину радиус-вектора к точке пересечения хорды и круга. Поскольку сторона квадрата равна диагонали (по теореме Пифагора), то с помощью сделанных выше выводов мы можем построить правильный треугольник со сторонами r и r, а его гипотенуза равна 8 (длина стороны квадрата).

Теперь найдем значение α при помощи тригонометрии
cos(α/2) = r/(сторона квадрата) = 4/8 = 0.
α/2 = arccos(0.5) = 60
α = 120°

Подставляем все данные в формулу для площади сегмента
S = (4^2/2)(120 - sin(120°)) = 8(120 - √3/2) = 960 - 4√
Ответ: площадь меньшего из сегментов, определяемого хордой в заданном круге, составляет 960 - 4√3 квадратных сантиметра.