В треугольнике ABC точка K лежит на стороне AC угол AKB-острый.Докажите что BK меньше BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение с помощью теоремы косинусов.

Из теоремы косинусов для треугольника ABK:

[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle AKB)]

Из теоремы косинусов для треугольника ABC:

[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)]

Так как угол AKB острый, то (\cos(\angle AKB) > \cos(\angle BAC)). Следовательно, учитывая, что (AK < AC) (так как точка K лежит на стороне AC), получаем:

[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle AKB) < AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle BAC) = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = BC^2]

Отсюда следует, что (BK < BC). Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC точка K лежит на стороне AC и (BK < BC).