Прямая проходит через середину отрезка.Докажите что концы отрезка находятся на равном расстоянии от этой прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение.

Пусть дан отрезок AB, прямая MN проходит через середину отрезка AB, и точки M и N делят отрезок AB пополам.

Предположим, что концы отрезка A и B не находятся на равном расстоянии от прямой MN. Пусть точка A находится ближе к прямой MN, чем точка B.

Проведем перпендикуляры AD и BE из точек A и B на прямую MN. Поскольку точка M является серединой отрезка AB, то AM = MB.

Если расстояние от точки A до прямой MN меньше, чем расстояние от точки B до прямой MN, то AD < BE.

Так как AM = MB, достаточно рассмотреть треугольники MAD и MBE. По условию, AD < BE, а AM = MB. Следовательно, по неравенству треугольников MAD и MBE (неравенство треугольника ММА< ММВ) ∠ MAD < ∠ MBE.

Таким образом, угол ∠MAD меньше, чем угол ∠MBE. Но это противоречит тому, что перпендикуляры AD и BE являются кратчайшими расстояниями от соответствующих точек A и B до прямой MN.

Таким образом, наше предположение о том, что точка A находится ближе к прямой MN, чем точка B, неверно. Следовательно, концы отрезка А и В находятся на равном расстоянии от прямой MN.