Дан треугольник АВС с тупым углом С, проведены высоты АА1 и ВВ1. Доказать подобие треугольников А1СВ1 и АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства подобия треугольников $A1C1B1$ и $ABC$ можно воспользоваться двумя способами:

По теореме об угле между высотой и стороной прямоугольного треугольника: угол $A1B1C1$ равен углу $A$ (как углу прямоугольного треугольника $ABC$), угол $A1C1B1$ равен углу $B$ (как углу прямоугольного треугольника $ABC$), следовательно, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.

Рассмотрим отношение сторон треугольников $A1C1B1$ и $ABC$.

Мы имеем:
$$\angle A1 = \angle C \quad (1)$$
$$\angle A1 = \angle B1 \quad (2)$$
$$\angle B1 = \angle B \quad (3)$$

Из прямоугольности треугольника $ABC$ следует, что:
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$
$$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$$
$$\angle A + \angle B = 90^\circ - \angle C$$
$$\angle A + \angle B = 90^\circ - \angle B1 \quad (4)$$

Из уравнения $(2)$ и $(4)$ следует:
$$\angle B1 = 90^\circ - \angle B1$$
$$2\angle B1 = 90^\circ$$
$$\angle B1 = 45^\circ$$

Из $(3)$ и того что $\angle B1 = 45^\circ$ следует:
$$\angle B = 45^\circ$$

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с углами $45^\circ$, и, таким образом, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.

Таким образом, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.