Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к другим сторонам, равны 18 и24. Найдите площадь треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника через медианы: S = 4/3 * √[(p-a)(p-b)(p-c)], где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника.

Поскольку стороны треугольника равны 20, а медианы равны 18 и 24, то можно составить уравнения на стороны треугольника:

a = 20,
m1 = 18,
m2 = 24,

где m1 и m2 - медианы.

Также, можно заметить, что медиана, проведенная к стороне длиной a, равна с центральной медианой, т.е. m3 = m2.

Используя теорему о центральной медиане и зная, что центральная медиана делит сторону треугольника в отношении 1:2, можно найти сторону c треугольника:

m3^2 = a^2 + 4c^2 / 3,
24^2 = 20^2 + 4c^2 / 3,
576 = 400 + 4c^2 / 3,
176 = 4c^2 / 3,
4c^2 = 528,
c^2 = 528 / 4,
c^2 = 132,
c = √132,
c = 2√33.

Теперь можем найти полупериметр треугольника и его площадь:

p = (a + m1 + m2) / 2,
p = (20 + 18 + 24) / 2,
p = 62 / 2,
p = 31.

S = 4/3 √[(31-20)(31-18)(31-2√33)],
S = 4/3 √[111331-2√33],
S = 4/3 √[4293 - 2√33],
S ≈ 4/3 64.168,
S ≈ 85.56.

Ответ: площадь треугольника составляет примерно 85.56.