Каждое ребро правильного тетраэдра равно 6. Найти объемы тетраэдра и вписанного в него конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту правильного тетраэдра. Поскольку все ребра равны 6, высота, проведенная из вершины тетраэдра к середине основания (центру окружности), будет равна $\frac{2}{3}$ от длины ребра. Следовательно, высота тетраэдра равна $4$.

Объем правильного тетраэдра можно найти с помощью формулы:

[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h]

где $S{\text{основания}}$ - площадь основания тетраэдра, а $h$ - высота. Поскольку тетраэдр правильный, его площадь основания равна $S{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$, где $a$ - длина ребра.

Подставляем известные значения:

[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 \cdot 4 = 32\sqrt{3}]

Таким образом, объем тетраэдра равен $32\sqrt{3}$.

Далее найдем объем вписанного в тетраэдр конуса. Радиус основания конуса равен $r = \frac{1}{3}a$, где $a$ - длина ребра тетраэдра. Высота конуса также равна $h = 4$.

Объем конуса можно найти по формуле:

[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h]

Подставляем известные значения:

[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{3} \cdot 6\right)^2 \cdot 4= \frac{16\pi}{3}]

Таким образом, объем вписанного в тетраэдр конуса равен $\frac{16\pi}{3}$.