В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб со стороной, равной a, ADC = 135 градусов. Через сторону DC и вершину A1 проведена плоскость под углом 60 градусов к плоскости основания. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину бокового ребра.

Поскольку ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, то AD = A1D1 = a.

Рассмотрим треугольники ACD и A1C1D1. У них есть общий угол при вершине C (прямоугольный угол), и углы при вершине A (ADC) и углы при вершине A1 (A1C1D1) равны 60 градусов. Таким образом, эти треугольники подобны.

Теперь мы можем написать пропорцию между сторонами этих треугольников:

AC/A1C1 = DC/D1C1.

Заметим, что AC = a, DC = D1C = a/√2 (так как в ABCD это диагональ квадрата), а D1C1 = a. Таким образом, подставляя значения в пропорцию, получаем:

a/(a/√2) = (a/√2)/a1, откуда a1 = a/2.

Теперь найдем высоту параллелепипеда h. Так как A1DC - прямоугольный треугольник с углом 60 градусов при вершине D1, то отношение длины его проекции на грань ABCD к высоте равно tg(60) = √3. Таким образом, h = a/√3.

Площадь сечения параллелепипеда плоскостью A1DC будет равна S = a1 h = a/2 a/√3 = a^2 / (2√3).

Итак, длина бокового ребра равна a/2, а площадь сечения составляет a^2 / (2√3).