5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

SAB.

Поскольку ребра пирамиды равны 1, то треугольник ABD равнобедренный. Пусть угол BAS равен α, тогда угол BAS также равен α (так как треугольники ABM и ABC подобны).

Теперь, синус угла между прямой BD и плоскостью SAB равен sin(180° - α - α) = sin(180° - 2α) = sin(2α).

Поскольку треугольники ABD и ABC подобны, отношение высоты к гипотенузе в треугольнике ABD равно sin(α), а в треугольнике ABC равно cos(α). Значит, sin(α) = cos(2α).

Теперь, используя тригонометрическое тождество sin(2α) = 2sinαcosα, мы можем найти синус угла между прямой BD и плоскостью SAB:

sin(2α) = 2sinαcosα = 2cos(2α)sinα = 2sinαcos(2α) = 2cos(2α)cosα = 2cos2(α)sin(α).

Таким образом, синус угла между прямой BD и плоскостью SAB равен 2cos2(α)sin(α).