Стороны треугольника равны 5; 7 и 10. В каком отношении, считая от вершины треугольника, точка пересечения биссектрис делит биссектрису большего угла?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам необходимо найти углы треугольника. Для этого воспользуемся формулой косинусов:

cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc

cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac

cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Где a, b и c - стороны треугольника.

Подставляя данные из условия, получаем:

cos A = (7^2 + 10^2 - 5^2) / (2 7 10) = (49 + 100 - 25) / 140 = 124 / 140 = 0.886

cos B = (5^2 + 10^2 - 7^2) / (2 5 10) = (25 + 100 - 49) / 100 = 76 / 100 = 0.76

cos C = (5^2 + 7^2 - 10^2) / (2 5 7) = (25 + 49 - 100) / 70 = -26 / 70 = -0.371

Теперь найдем углы треугольника, используя обратный косинус:

A = arccos(0.886) ≈ 28.96°

B = arccos(0.76) ≈ 40.42°

C = arccos(-0.371) ≈ 110.62°

Следовательно, наибольший угол C(10) соответствует углу C. Находим точку пересечения биссектрисы большего угла, делящую её в отношении AC: C1 = a cos(B/2) / cos(A/2 + B/2) = 5 cos(20.21) / (cos20.21 + cos40.42) ≈ 2.77

Ответ: точка пересечения биссектрисы делит биссектрису большего угла в отношении примерно 2.77:7.23.