Дан прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности равен 2, а радиус внеописанной окружности, касающейся гипотенузы, равен 5. Найти гипотенузу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как a, b и c (гипотенуза).

Известно, что радиус вписанной окружности равен 2, то есть радиус окружности, вписанной в треугольник, равен полупериметру треугольника, разделенному на сумму длин его сторон: r = (a + b - c)/2.

Аналогично, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен полупроизведению сторон треугольника, деленному на полупериметр: R = ab/(a + b + c).

Зная, что r = 2 и R = 5, можем записать два уравнения:

2 = (a + b - c)/2
5 = ab/(a + b + c).

Сначала найдем стороны a и b. Для этого выразим c из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

c = a + b - 4
5 = ab/(a + b + a + b - 4) = ab/(2a + 2b - 4) = ab/(2(a + b - 2))
5 = ab/(2c).

Теперь выразим a через b из уравнения и вставим это выражение в уравнение ab = 2c:

a = 2c/b
ab = 2c
(2c^2)/b = 2c
2c/b = 1
2c = b.

Вернемся к уравнению 5 = ab/(2c) и подставим выражение 2c вместо b:

5 = a 2c / (2c 2)
5 = a / 4
a = 20.

Таким образом, a = 20 и b = 40. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, найдем гипотенузу:

c^2 = a^2 + b^2
c^2 = 20^2 + 40^2
c^2 = 400 + 1600
c^2 = 2000
c = √2000 = 20√5.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 20√5.