В параллелограмм АВСD с углом А=45 и стороной AD=10 корней из 2 (дм), вписана в окружность: а) найдите радиус окружности б) найдите сумму расстояний от вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Радиус окружности равен половине длины диагонали параллелограмма, так как диагонали параллелограмма пересекаются в его центре. Диагонали параллелограмма равны друг другу и образуют прямой угол, поэтому в параллелограмме AD = BC и AB = CD. Так как AD = 10√2 и AC = BD, то радиус окружности равен половине длины диагонали:

r = (10√2)/2 = 5√2 (дм).

б) Сумма расстояний от точки D до точек касания окружности с AD и CD равна сумме двух отрезков, назовем их h и k.

Найдем общую высоту параллелограмма ADCH:

h = DC sin(45°) = 10√2 (1/√2) = 10 дм.

Заметим, что треугольники ADB и CDC подобны, так как угол ADB = угол BCD = 90°, угол DAB = угол DBC (45°) и общий угол D = D.

Поэтому h/h' = AD/h' = BD/DC, где h' - расстояние от точки D до касания окружности с DC.

Из этого получаем, что h' = AD^2 / DC = 100/10 = 10 дм.

Точка касания окружности с прямой AD образует прямой угол, поэтому клонку AD разбивается на два отрезка, один из которых равен половине длины AD:

k = AD/2 = 10√2 / 2 = 5√2.

Итак, сумма расстояний от вершины D до точек касания равна:

h + k = 10 + 5√2 ≈ 17,07 дм.