В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник COB подобен треугольнику AOD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства подобия треугольников COB и AOD построим параллельные переносы.

На рисунке:

1) Проведем прямую перпендикулярную стороне AD и проходящую через точку O. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой BC как E.
2) Проведем прямую перпендикулярную стороне AB и проходящую через точку O. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой CD как F.

Таким образом, получаем параллелограмм ADEF:

Так как AD || EF, то по теореме о параллельных прямых для треугольников AOD и COE имеем AO/OD = CE/EO. Также, CE = OB - очевидно по свойствам параллелограмма.Так как AB || EF, то по теореме о параллельных прямых для треугольников AEB и DCF имеем AE/EB = DF/FC. Также, DF = OC - очевидно по свойствам параллелограмма.

Отсюда, получаем, что AO/OD = OB - EO/EO = OB/EO. Аналогично AE/EB = OC / FC. Отсюда, треугольники COB и AOD подобны, так как у них соответствующие стороны пропорциональны.