На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К такие,что АМ=СК,точка М лежит между точками А и К. Докажите, что угол АВМ= углу СВК.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что AM = CK. Также, так как треугольник равнобедренный, то углы равны: ∠A = ∠C и ∠AB = ∠CB.

Рассмотрим два треугольника: треугольник AMK и треугольник CKM.
У них две равные стороны: AM = CK и KM = KM (общая сторона).
Таким образом, по стороне-уголу-стороне (СУС) треугольник AMK равен треугольнику CKM.
Значит, углы ∠MAK = ∠KCM и ∠AKM = ∠CKM.

Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то ∠AB = ∠CB и ∠CAB = ∠CBA.
Таким образом, ∠MAK + ∠AKM = ∠CKM + ∠KCM.
Но угол ∠AKM = ∠CKM, так как треугольники равны.
Значит, ∠MAK = ∠KCM и ∠AKM = ∠CKM.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и BCK. У них снова две равные стороны: AB = BC и BM = BK.
По СУС треугольник AMK равен треугольнику CKM.
Значит, углы ∠ABM = ∠CBK и ∠MAB = ∠KBC.

Так как ∠AB = ∠CB и ∠CAB = ∠CBA, то ∠ABM = ∠CBK и ∠MAB = ∠KBC.
Но из предыдущего уравнения мы знаем, что ∠MAK = ∠KCM и ∠AKM = ∠CKM, а значит, ∠MAB = ∠KBC и ∠AKM = ∠CKM.

Так как ∠MAB = ∠KBC, то треугольники ABM и BCK подобны (по признаку угловой строгости), а значит, ∠ABM = ∠CBK.

Таким образом, угол АВМ равен углу СВК.