Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5см и 13см. Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота равнобедренного треугольника равна h, а основание треугольника равно 2b.

Так как центр описанной окружности лежит на высоте треугольника, он делит высоту на отрезки, равные 5см и 13см. Значит, расстояние от центра описанной окружности до основания треугольника равно 5 см, а расстояние от центра до вершины треугольника равно 13 см.

Пусть точка деления отрезка высоты на отрезки равные 5 и 13 см - это H.

Таким образом, h = 5 + 13 = 18

Из свойств равнобедренного треугольника, из центра описанной окружности проведем высоту OI, где O - центр описанной окружности, а I - точка пересечения с основанием треугольника.

Таким образом, OI = h/2 = 9

Также, по теореме Пифагора для ΔIOH, имеем:
OI^2 = OH^2 + HI^2

9^2 = 5^2 + b^2

81 = 25 + b^2

b^2 = 56

b = √56 = 2√14

Теперь найдем площадь треугольника по формуле: S = ½ a h,

где a - основание треугольника.

S = ½ 2√14 18 = 18√14

Ответ: S = 18√14.