Дан треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка B1 так, что AB1:AB=1:3, на стороне AC отмечена точка C1 так, что AC1:AC=1:2. Через точки B1,A,C1 проведена окружность. Через точку B1 проходит прямая, которая пересекает AC1 в точке D, а также пересекает окружность в точке E. AC1=4, DE=2, AD=1. Найти площадь треугольника B1EC1, если площадь треугольника ABC = 12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точки B(0,0), A(6,0), C(4,8) - координаты вершин треугольника ABC.

Тогда точки B1(2,0), C1(5,4) - координаты точек B1 и C1 соответственно.

Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2

Уравнение окружности, проходящей через точки B1, A и C1:
(x - 2)^2 + y^2 = R^2
(6 - 2)^2 + 0^2 = R^2
R = 4

Таким образом, уравнение окружности: (x - 2)^2 + y^2 = 16.

Прямая, проходящая через B1 и пересекающая AC1 и окружность, имеет уравнение x = 2.

Найдем координаты точек D и E:
D(2, 2), E(2 - sqrt(3), sqrt(7))

Площадь треугольника B1EC1 равна: (1/2) |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|, где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты его вершин.
Подставляем координаты B1(2,0), E(2-√3,√7), C1(5,4):
(1/2) |(2(√7 - 4) + (2-√3)4 + 50)| = (1/2) (2√7 - 8 + 8 - 4√3) = √7 - 2√3

Ответ: площадь треугольника B1EC1 равна √7 - 2√3.