Медиана bm и биссектриса ap треугольника abc пересекаются в точке k длина стороны ac относится к длине стороны ab как 9:7. Найдите отношение площади треугольника abk к площади четырёхугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

abkc.

Пусть точка m - середина стороны ac
Так как bm - медиана треугольника abc, то она делит сторону ac пополам, и, следовательно, am = mc.

По условию, отношение длины стороны ac к ab равно 9:7, а значит, ab/am = 7
Таким образом, ab = 7am и ac = 16am
Также из подобия треугольников bmс и apb следует, что ab/ap = mc/mb.

Из данных отношений получаем
ab/ap = mc/m
7 = mc/mb

Отсюда mc = 7mb. То есть отрезок mc больше отрезка mb в 7 раз.

Теперь рассмотрим соотношение площадей
S(abk)/S(abck) = (S(abk))/(S(abm) + S(bmc) + S(cam))

S(abm) = S(cam), так как оба треугольника равными и имеют общую высоту относительно стороны am. Площади треугольников относятся как прямоугольные отрезки, то есть как квадраты сторон.

Следовательно
S(abm) = (1/2) am b
S(abm) = (1/2) mc mb

Следовательно, площадь S(abk) равна половине произведения am и mb, а площадь S(abck) равна половине произведения mc и mb.

Из рассуждений выше и пропорции ab/am = mc/mb, abk и abck будут равновелики.

Ответ: 1:1.