Диагональ прямоугольногопараллелепипеда образует свумя его гранями, имеющи-ми общее ребро, равные углы.Докажите, что грань, перпен-икулярная к общему реб-ру, — квадрат.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D', где AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', A'D' = AD,
или AB || CD, AD || BC, AA' || BB' || CC' || DD'.
Пусть диагональ AC (грань ACD'A') образует угол с гранями ABCD и A'B'C'D'. Тогда рассмотрим прямые AE и AF,
перпендикулярные AC и AB соответственно. Треугольники АЕС и АФС будут прямоугольными и равнобедренными.
Так как угол EAC равен углу BAC, то угол FAB равен углу CAF, следовательно, угол CAF равен углу ABC и равен
половине угла между гранями ABCD и A'B'C'D' (так как AB || CD). Рассмотрим прямые AG и АН, перпендикулярные
AC и CD соответственно. Треугольники AGC и АНD будут равнобедренными и равны. Так как угол NAN равен углу
GAC – углу FAB (как углу между гранями ABCD и A'B'C'D'), то получаем, что углы NAN и GAC равны, значит,
угол ACN равен углу CNA. Тогда треугольник ACN равнобедренный, откуда имеем, что AN = AC. Таким образом, AN = AC =
ACDG. Кроме того, треугольники АСG и ACD совпадают полностью. Следовательно, грань, перпендикулярная к
общему ребру, является квадратом.