Диагональ прямоугольногопараллелепипеда образует сдвумя его гранями, имеющи-ми общее ребро, равные углы.Докажите, что грань, перпен-дикулярная к общему реб-ру, — квадрат.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим общее ребро параллелепипеда за $AB$, а диагональ параллелепипеда за $AC$. Также обозначим грань, перпендикулярную к ребру $AB$, за $ADEH$.

Так как углы при вершине $A$ равны (по условию), то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Так как угол $CAD$ прямой (так как $AC$, диагональ параллелепипеда), то углы $CAH$ и $DAH$ тоже прямые.

Так как угол $ADE$ прямой (грань перпендикулярная к $AB$), то угол $DAE$ прямой.

Из прямых углов $CAH$, $DAH$ и $DAE$ следует, что $C, H, E$ лежат на одной прямой.

Таким образом, грань $ADEH$ является прямоугольником. Поскольку углы прямоугольника равны, а стороны прямоугольника равны в силу равнобедренности треугольника $ABC$, то грань, перпендикулярная к общему ребру, оказывается квадратом.

Таким образом, грань, перпендикулярная к общему ребру, является квадратом.