На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ- ка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ- ка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
а) Поскольку точка T - середина ребра B1C1, то BT = TC1 и B1T = TC1/2. Так как B1F : FB = 5 : 11, то B1F/BF = 5/16, отсюда следует, что B1F = 5a, BF = 16a. Так как B1T = TC1/2, то BT = 3B1T = 15a. Теперь рассмотрим сегмент ABT. В треугольнике ABT применим теорему Пифагора
AB^2 = AT^2 + BT^
(6√2)^2 = x^2 + (15a)^
72 = x^2 + 225a^
x^2 = 72 - 225a^2 ------------(1
Из условия А1E : EA = 5 : 3 следует, что AE = 5a + 3a = 8a. Рассмотрим треугольник AED. Применим теорему Пифагора
AD^2 = AE^2 + ED^
10^2 = (8a)^2 + x^
100 = 64a^2 + x^
x^2 = 100 - 64a^2 ------------(2
Из (1) и (2) следует, что 72 - 225a^2 = 100 - 64a^
161a^2 = 2
a^2 ≈ 0.1745
a ≈ 0.4177
Теперь найдем BD1
BD1 = BF + FD + DD1 = 16a + 11a + 10 = 37a + 1
BD1 ≈ 37 0.41774 + 10 ≈ 24.0649
Теперь рассмотрим треугольник BTD1. По теореме Пифагора
BD1^2 = BT^2 + TD1^
(24.06498)^2 = (15a)^2 + TD1^
579.2078 = 225a^2 + TD1^
TD1^2 = 579.2078 - 233.013
TD1 ≈ √346.194
Теперь рассмотрим треугольник D1FD. Применим теорему Пифагора
(√346.1941)^2 = (16a)^2 + FD^
346.1941 = 256a^2 + FD^
FD^2 = 346.1941 - 256a^
FD ≈ √(346.1941 - 2560.17453
FD ≈ √(346.1941 - 44.62888
FD ≈ √301.565
FD ≈ √(12^2*6.0042
FD ≈ 12√6.004
Проходит ли плоскость EFT через вершину D1? Да, так как векторы FD и TD1 пересекаются в вершине D1.
б) Теперь найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT. Поскольку EF и FT лежат в плоскости EFT, то площадь сечения равна площади треугольника EFT. Площадь треугольника можно найти используя формулу Герона
S = √(p(p-ET)(p-FE)(p-FT)), где p = (ET + FE + FT)/
ET = FD = 12√6.004
FE = √346.194
FT = TC1/2 = 8.00
p = (12√6.0042 + √346.1941 + 8.007)/2 ≈ 12.005
S = √(12.00540.0054346.1891*3.0024) ≈ √1226.7676 ≈ 35.0
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT равна приблизительно 35.03.