На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ- ка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точ- ка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
а) Поскольку точка T - середина ребра B1C1, то BT = TC1 и B1T = TC1/2. Так как B1F : FB = 5 : 11, то B1F/BF = 5/16, отсюда следует, что B1F = 5a, BF = 16a. Так как B1T = TC1/2, то BT = 3B1T = 15a. Теперь рассмотрим сегмент ABT. В треугольнике ABT применим теорему Пифагора:
AB^2 = AT^2 + BT^2
(6√2)^2 = x^2 + (15a)^2
72 = x^2 + 225a^2
x^2 = 72 - 225a^2 ------------(1)
Из условия А1E : EA = 5 : 3 следует, что AE = 5a + 3a = 8a. Рассмотрим треугольник AED. Применим теорему Пифагора:
AD^2 = AE^2 + ED^2
10^2 = (8a)^2 + x^2
100 = 64a^2 + x^2
x^2 = 100 - 64a^2 ------------(2)
Из (1) и (2) следует, что 72 - 225a^2 = 100 - 64a^2
161a^2 = 28
a^2 ≈ 0.17453
a ≈ 0.41774
Теперь найдем BD1:
BD1 = BF + FD + DD1 = 16a + 11a + 10 = 37a + 10
BD1 ≈ 37 0.41774 + 10 ≈ 24.06498
Теперь рассмотрим треугольник BTD1. По теореме Пифагора:
BD1^2 = BT^2 + TD1^2
(24.06498)^2 = (15a)^2 + TD1^2
579.2078 = 225a^2 + TD1^2
TD1^2 = 579.2078 - 233.0137
TD1 ≈ √346.1941
Теперь рассмотрим треугольник D1FD. Применим теорему Пифагора:
(√346.1941)^2 = (16a)^2 + FD^2
346.1941 = 256a^2 + FD^2
FD^2 = 346.1941 - 256a^2
FD ≈ √(346.1941 - 2560.17453)
FD ≈ √(346.1941 - 44.62888)
FD ≈ √301.5652
FD ≈ √(12^2*6.0042)
FD ≈ 12√6.0042
Проходит ли плоскость EFT через вершину D1? Да, так как векторы FD и TD1 пересекаются в вершине D1.
б) Теперь найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT. Поскольку EF и FT лежат в плоскости EFT, то площадь сечения равна площади треугольника EFT. Площадь треугольника можно найти используя формулу Герона:
S = √(p(p-ET)(p-FE)(p-FT)), где p = (ET + FE + FT)/2
ET = FD = 12√6.0042
FE = √346.1941
FT = TC1/2 = 8.007
p = (12√6.0042 + √346.1941 + 8.007)/2 ≈ 12.0054
S = √(12.00540.0054346.1891*3.0024) ≈ √1226.7676 ≈ 35.03
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT равна приблизительно 35.03.