Найти наименьший из острых углов прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2 : 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть прямоугольный треугольник имеет острые углы А, В и С, где угол С - наименьший. Пусть медиана, проведенная к гипотенузе от вершины С, пересекает гипотенузу в точке М, причем СМ делит прямой угол в отношении 2 : 1.

Так как угол С является наименьшим, то у него же и наибольшая медиана. Поэтому, угол MCA больше угла BMA, а угол MCB больше угла CMB.

Заметим, что медиана делит треугольник на два подобных треугольника и делит равнобедренный треугольник на равнобедренные треугольники. Таким образом, угол CMB = угол BMA = угол MCA.

Из условия имеем, что угол MCA больше угла BMA. Значит, медиана делит прямой угол в точке М на углы в отношении 2 : 1, то есть угол CMB = 2x, угол BMA = x, угол MCA = x, где х - неизвестный угол.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то x + x + 2x = 180, откуда 4x = 180 и х = 45 градусов.

Таким образом, наименьший острый угол прямоугольного треугольника равен 45 градусам.