Мат. анализ. Метод Лагранжа Найти экстремум функции z=f(x,y) методом множителей Лагранжа при условии, что ф (x,y)=0
z=1/x+1/y; 1/x^2 +1/y^2=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для поиска экстремума функции z=f(x,y) методом множителей Лагранжа при условии f(x,y)=0 необходимо составить функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = f(x,y) + λ*f(x,y)

В данном случае у нас функция z=1/x+1/y и уравнение f(x,y)=0 это 1/x^2 +1/y^2 - 1 = 0. Запишем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = 1/x + 1/y + λ*(1/x^2 + 1/y^2 - 1)

Теперь найдем частные производные функции Лагранжа по x, y и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = -1/x^2 - 2λ/x^3 = 0
∂L/∂y = -1/y^2 - 2λ/y^3 = 0
∂L/∂λ = 1/x^2 + 1/y^2 - 1 = 0

Из первых двух уравнений найдем значения λ:

λ = -1/(2x^3) = -1/(2y^3)

Подставим lambda обратно в уравнение и найдем значения x и y:

1/x^2 = 1/(2x^3)
1/y^2 = 1/(2y^3)

Отсюда получаем:

x = y

Подставим x=y в уравнение 1/x^2 + 1/y^2 = 1, получим x=y=√2. Таким образом, экстремум функции z=1/x+1/y при условии f(x,y)=0 равен z=√2.