Олимпиадная задача. Помощь не нужна, просто может кому интересно Сумма пяти неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяти попарных произведений соседних чисел не превосходила 1⁄5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть числа обозначены как a, b, c, d, e.

Сумма пяти чисел равна 1, то есть a + b + c + d + e = 1.

Рассмотрим произведения соседних чисел:

ab, bc, cd, de, ea.

Тогда сумма этих произведений равна:

ab + bc + cd + de + ea = a(b+e) + b(c+a) + c(d+b) + d(e+c) + e(d+a) = a(1-d) + b(1-e) + c(1-a) + d(1-b) + e(1-c) = a + b + c + d + e - (ad + be + ac + bd + ce) = 1 - (ad + be + ac + bd + ce).

Поскольку ad, be, ac, bd, ce - это все попарные произведения соседних чисел, то мы видим, что сумма пяти попарных произведений равна 1 минус сумма пяти слагаемых ad, be, ac, bd, ce.

Таким образом, нам нужно доказать, что ad + be + ac + bd + ce не превосходит 1/5.

Применим неравенство о средних арифметическом и геометрическом:

(a + b + c + d + e)/5 >= (ab + bc + cd + de + ea)^(1/5).

Подставляем известные суммы:

1/5 >= (1 - (ad + be + ac + bd + ce))^(1/5).

Возводим в степень 5:

1 >= 1 - (ad + be + ac + bd + ce)

(ad + be + ac + bd + ce) >= 0.

Значит, сумма пяти попарных произведений соседних чисел не превосходит 1/5.