Найти площадь фигуры ограниченной линиями r=5cos (фи)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой r=5cos(фи), где 0≤фи≤π/2, нужно воспользоваться формулой для вычисления площади полярного участка:

S = 0.5 ∫[a,b] (f(θ))^2 dθ,

где f(θ) – радиус-вектор кривой, a и b - начальный и конечный углы.

В данном случае имеем радиус-вектор r(θ) = 5cos(θ), где начальный угол a = 0, конечный угол b = π/2.

Тогда площадь фигуры будет равна:

S = 0.5 ∫[0,π/2] (5cos(θ))^2 dθ = 0.5 ∫[0,π/2] 25cos^2(θ) dθ.

Выполним интегрирование:

S = 0.5 25 ∫[0,π/2] cos^2(θ) dθ = 0.5 25 ∫[0,π/2] (1 + cos(2θ))/2 dθ,
S = 0.5 25 [θ/2 + (sin(2θ)/4)] |0,π/2,
S = 0.5 25 [(π/4 + sin(π))/4],
S = 0.5 25 [(π/4 + 0)/4] = 25π/16.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривой r=5cos(θ) равна 25π/16.