Найти углы и площадь треугольника по координатам Найти внутренний угол ∠A, внешний угол ∠C в треугольнике ABC, а также найдите его площадь. Координаты вершин :
A(−1; 3; 3), B(2; 2; 1), C(0; 3; −2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения углов в треугольнике ABC по его координатам, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов и нахождением синуса угла между двумя векторами.

Найдем векторы AB, AC и BC:
AB = B - A = (2 - (-1); 2 - 3; 1 - 3) = (3; -1; -2)
AC = C - A = (0 - (-1); 3 - 3; -2 - 3) = (1; 0; -5)
BC = C - B = (0 - 2; 3 - 2; -2 - 1) = (-2; 1; -3)

Найдем скалярные произведения векторов:
AB • AC = 31 + (-1)0 + (-2)(-5) = 3 + 0 + 10 = 13
BC • AB = (-2)3 + 1(-1) + (-3)(-2) = -6 - 1 + 6 = -1
AC • BC = 1(-2) + 01 + (-5)*(-3) = -2 + 0 + 15 = 13

Теперь находим косинусы углов между векторами:
cosA = (AB • AC) / (|AB| |AC|) = 13 / (√14 √26) ≈ 0.828
cosB = (BC • AB) / (|BC| |AB|) = -1 / (√14 √14) = -0.071
cosC = (AC • BC) / (|AC| |BC|) = 13 / (√26 √14) ≈ 0.828

Теперь найдем углы A, B, C через косинусы:
∠A = arccos(0.828) ≈ 34.7°
∠B = arccos(-0.071) ≈ 92.5°
∠C = arccos(0.828) ≈ 34.7°

Найдем площадь треугольника ABC:
Площадь = 0.5 |AB| |AC| sin(∠A) = 0.5 √14 √26 sin(34.7°) ≈ 7.68

Таким образом, внутренний угол ∠A ≈ 34.7°, внутренний угол ∠C ≈ 34.7°, внешний угол ∠B ≈ 92.5°, а площадь треугольника ABC ≈ 7.68.