Пусть X,Y – линейные пространства, оператор A:X->Y линейный B⊂Ra – выпуклое множество. Будет ли множество M={xэX:AxэB} выпуклым?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, множество M будет выпуклым.

Для доказательства этого факта рассмотрим две произвольные точки x1, x2 из множества M. Поскольку Ax1 и Ax2 лежат в B, то согласно выпуклости множества B точка Ax = λAx1 + (1-λ)Ax2 также будет лежать в B для любого 0 ≤ λ ≤ 1.

Таким образом, точка Ax принадлежит множеству B для любой точки x = λx1 + (1-λ)x2 из множества M и для любого 0 ≤ λ ≤ 1. Это означает, что множество M={x∈X:Ax∈B} также является выпуклым.